田径跑道占地面积精密计算法

田径跑道占地面积精密计算法
　

　　田径跑道占地面积的计算要求精确无误，这对于跑道的设计、建设施工有着极其重要的现实意义，它可使设计时计算土石方及跑道面原材料的配方总数更加精确，防止不必要的人、财、物的浪费，所以，在设计修建田径运动场地时，精确计算出跑道的占地面积就显得很有必要。　　

　　为什么要提出精密计算问题呢?请看图l。假如分别计算弯道和整个直道段的占地面积的话，那么，就会多余出如图中的阴影部分所占的面积。
　　下面就如何采用精确计算方法来减少或消除田径跑道占地面积的多余部分，提出一点自己的设想。
　　首先，我们可以分别计算出弯道段和直道段的面积，并把直道延长部分分成两个三角形，计算出其中之一的面积，见图２。这样，阴影部分就会大大减少。但是，这样计算出的面积和实际占地面积还有较大出入，如图２阴影部分。

　　怎样才能精确计算出田径跑道的占地面积呢？方法是多种多样的。下面介绍两种比较简单的方法。
１　积分法
　　我们知道，田径场地的直、弯道处的情况可以分成以下几种情况？见图３?６。
　　根据以上图形所示，我们可以得出如下的计算公式：
１．１　设圆心为原点，以直曲分界线为X轴，以场地纵中线为Y轴建立平面直角坐标系，我们计算图内阴影部分的面积公式为：

　　　　　　（１）

１．２　在图５情况下，积分上限不是r还需另外求出。其步骤为：
　　设直道延长部分为Ｚ，则积分上限ｂ＝Ｒ²－Ｚ²；计算出ｂ后代人上面公式可得：

　　　　　　（２）

１．３　假如跑道情况如图６，即直道多于弯道。例如直道八条，弯道六条，计算方法可以根据具体情况分别采用公式（１）和公式（２）。
　　除了用积分法精确计算出跑道的占地面积外，我们还可以用初等数学方法，同样能精确计算出跑道的占地面积，但一般来说，计算步骤比较烦琐，现讨论其中比较简便的一种方法。
　　（１）如前所示，建立直角坐标系，从原点至直道里边延长线与弯道外沿的交点Ａ引一条射线皋如图７。

图中ΔＡＯＣ的面积减去此三角形中的扇形面积即为阴影部分的面积，这样，跑道占地面积就成为直道、阴影部分和扇形弯道面积之积了。
　　（２）在图３，图４情况下，ＯＣ即半径ｒ；在图５情况下

ＡＣ为已知条件。
　　（３）三角形ＡＯＣ的面积：
　　设ＡＣ为ｂ、ＯＣ为ａ；

　　则

　　（４）三角形内扇形面积：

　　（５）阴影部分面积；
　　Ｓ阴：（ＳΔ?Ｓ小）×４
　　（６）所余弯道扇形面积；

　　（７）跑道占地面积；
　　Ｓ＝Ｓ阴＋Ｓ扇＋Ｓ道
　　以上是分别用积分法和初等数学方法精确计算跑道占地面积的公式，下面就标准４００米田径场地（ｒ＝３６，八条跑道，分道宽为１．２５米），如图８情况下的跑道占地面积的详细计算过程及方法如下，以供参考。

２　初等数学法如

　　以上结果可以看出，两种计算方法都能精确地计算出田径跑道的占地面积，其结果完全一样。